Petite histoire de la règle de trois

 

 

Qu'est-ce que la règle de trois?

 

Une petite histoire de la règle de trois

Que fait-on sans la règle de trois?

Un exemple d'utilisation de la règle de trois dans un problème ancien

La règle de trois rappelle aux plus anciens d’entre nous des souvenirs empreints de nostalgie, ce qui ne veut pas dire qu’ils ne furent pas douloureux… La réapparition de cette dénomination dans les programmes de l'école primaire de 2008, après une longue absence depuis 1995 (elle fut présente continûment dans tous les programmes depuis 1882 jusqu’en 1970 ; les programmes de Mathématiques modernes de 1970 voient sa disparition qui se prolonge avec ceux de 1980 ; elle réapparaît dans les programmes de 1985 et 1991),  fait l’objet de discussions parfois passionnées. Pour éviter ces polémiques souvent idéologiques et parfois stériles, il paraît souhaitable de se poser la question de ce qu’est la règle de trois et d’examiner comment elle fut présentée tout au long de notre histoire.

 

I.  Qu’est-ce que la règle de trois ?

 

Empruntons la définition à un manuel du Cours Moyen et Supérieur vers  1900 (Nouvelle arithmétique des écoles primaires par C. Legrand) :

On trouve ici une formulation qui est celle employée depuis plusieurs siècles, dans laquelle il est fait allusion aux règles de trois simples ou composées, directes ou indirectes. La plupart du temps, nous en resterons à la règle de trois simple et directe (quand nous dirons "règle de trois" sans précision, il s'agira de la règle de trois simple et directe).

Il ne faut pas être grand mathématicien pour percevoir que la règle de trois se réfère à la proportionnalité et à la théorie des proportions fondée par les Grecs et présentée dans les livres V et VII des Eléments d’Euclide (IIIème siècle avant J.C.). La notion de proportion est en effet totalement maîtrisée par les Grecs, alors qu’elle reste sous-jacente chez les Egyptiens. La proportion est l'équivalence de deux rapports entre des grandeurs homogènes; composée essentiellement de quatre termes, le second et le troisième sont dits moyens par opposition au premier et au quatrième qui sont les extrêmes.

Une des propriétés fondamentales des proportions, démontrée par Euclide dans le livre VII est que, si quatre nombres sont en proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, ainsi que l’indique Denis Henrion dans sa traduction d’Euclide (Les quinze livres des Eléments géométriques d’Euclide, 1632) :

En ces temps, et jusqu’à la dernière moitié du XIXème siècle, l’écriture d’une proportion de quatre nombres s’écrit comme dans le problème suivant tiré du « Traité d’arithmétique élémentaire théorique et pratique »  de S. Pagnon (1868) :

Il s’agit de la résolution de la règle de trois selon la méthode ancienne. La proportion écrite est  7 :12 ::25 :x, ce que nous écririons maintenant sous forme fractionnaire :

                           

En définitive, l'application de la règle de trois consiste en la recherche de ce qu'on appelle une "quatrième proportionnelle" et la règle de trois est une méthode de calcul de cette quatrième proportionnelle.

Il convient maintenant de se demander comment la règle de trois fut présentée et expliquée et quelles ont été les méthodes de résolution.

 

II.   Une petite histoire de la règle de trois.

"Autant qu'on puisse en juger, s'agissant d'une pratique qui n'a pas nécessairement fait l'objet d'un exposé théorique préalable, la Règle de Trois apparaît, pour la première fois en tant qu'algorithme permettant le calcul d'une quatrième proportionnelle, en Inde, au VIIe siècle ; encore qu'on puisse considérer que certaines méthodes de la mathématique chinoise, sans doute plus ancienne, relèvent d'une règle analogue. La Règle de Trois fait partie de ce qui sera transmis au monde arabo-musulman vers le IIe siècle de l'Hégire (IX e   siècle de notre ère), en particulier chez al-Khwarizmi. Toujours est-il que la dénomination Règle de Trois, ou parfois Règle d'or, apparaît en Europe à partir du XIII e siècle, par exemple en France, au XIV e siècle. Elle figure ensuite dans tous les ouvrages d'arithmétique pratique, de la fin du Moyen Age jusqu'à une date récente." (Jean-Pierre LE GOFF. Une mise en perspective historique. De la quatrième proportionnelle à la fonction linéaire. Cahiers de la MRSH, numéro spécial, novembre 2000).

Lorsqu’on examine les ouvrages anciens d’arithmétique présentant la règle de trois,  jusqu’à la fin du XIXème siècle, on perçoit deux catégories : ceux destinés à un usage pratique pour le commerce, la banque, etc. (nous les appellerons les ouvrages pratiques) et ceux qui contiennent un développement théorique consistant (nous les appellerons les ouvrages savants). A partir de la fin du XIXème siècle, des manuels destinés aux jeunes élèves apparaissent, avec un souci pédagogique particulier. On les appellera les ouvrages de pédagogues.

 

 1. Les ouvrages pratiques.

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     Extrait de « L'arithmétique et manière d'apprendre à chiffrer & conter, par la plume & par les gets en nombre entier & rompu, facile à apprendre, & très utile à toutes gens » par maître Anthoine Cathalan, 1566. Les gets sont les jetons à compter dont on faisait encore largement usage pour les pratiques courantes (Montaigne disait qu’il ne savait compter « ni à get, ni à plume »). Les nombres rompus sont les fractions.

 

 

 L’auteur indique une règle de calcul dont il ne fournit aucune justification. On notera que pour l’exemple donné, il faut savoir qu’un écu vaut 36 sous, ce qui n’est pas aussi pratique qu’une écriture décimale !

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 Extrait de « L’arithmétique en sa perfection » de François Le Gendre (1684). Là encore, la règle est donnée et est à appliquer.

 

 

On notera la disposition des calculs de l’exemple, avec la division à la française, caractéristique de cette époque.

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Extrait de « L’arithmétique du Sieur Barreme ou le livre facile pour apprendre l’arithmétique de soi-même, sans maître » (Nicolas Barreme, 1736). Barreme est célèbre pour ses « Comptes faits » qui permettaient, par simple consultation et sans calcul, d’obtenir un résultat. D’où le mot « barème » qui est passé dans la langue courante.

 Là encore, la règle est donnée sans explication.

 

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Extrait du « Trésor d’arithmétique des marchands et des géomètres » (Jean Taulane, 1689)

 

Il n’y a rien de nouveau dans les explications fournies. Par contre, les calculs sont intéressants à étudier. Il faut savoir qu’une livre vaut 20 sous et qu’un sou vaut 12 deniers. D’où les multiplications qui s’insèrent dans les divisions « à l’italienne » dont parle l’auteur.

 

2.Les ouvrages savants.

Ces ouvrages sont rédigés par des maîtres de Mathématiques qui s’empressent de justifier leurs méthodes. Pour la règle de trois, c’est la théorie des proportions qui fournit le support théorique.
 

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Extrait de « Elémens de géométrie avec un abbrégé d’arithmétique et d’algèbre » par M. Rivard, professeur de philosophie en l’Université de Paris, 1739.

On trouve ici des exemples qui s’appuient sur l’exposé théorique des proportions présenté dans le corps de l’ouvrage.

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 Extrait de « Elémens d’arithmétique » de Camus (1753).

La présentation de la règle de trois, avec ses exemples, est précédée d’une théorie générale des proportions. Le souci de l’auteur de donner un sens au calcul est bien réel, puisqu’il demande de considérer les termes du produit comme des nombres « abstraits » (il n’y a aucun sens à multiplier des toises par des livres). On notera que Camus fait ici une division « à l’italienne ».

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Extrait de « L’arithmétique à l’usage de la marine et de l’artillerie » par Bezout (1833). Cet auteur est célèbre pour ses nombreux ouvrages parus à la fin du XVIIIème siècle et au début du XIXème, particulièrement à l’intention des écoles militaires.

C’est une présentation très classique pour l’époque, s’appuyant sur une présentation solide de la théorie des proportions, avec les notations habituelles. On notera que l’auteur simplifie la proportion à rechercher, sachant que :  

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Extrait de « Elemens d’algèbre précédés de l’introduction à l’algèbre » par A.A.L. Reynaud (1810). Comme on l’a vu jusqu’à présent,  la méthode de résolution d’une règle de trois s’appuie sur la théorie des proportions (égalité des produits des extrêmes et des moyens). Cela ne va pas sans poser des problèmes de compréhension, notamment pour les débutants. Le baron Reynaud présente dans son ouvrage une « méthode absolument nouvelle » qui aura un grand succès.

C’est ce que l’on appellera la « méthode de réduction à l’unité ». Nous ne renierions pas sa volonté de clarté et d’explicitation : « On oublie facilement les règles que l’on ne comprend pas ; mais les méthodes confiées au jugement ne s’effacent jamais de la mémoire ».

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Extrait du « Cours complet d’arithmétique » d’ Adrien Guilmin (1847). Cet ouvrage, « à l’usage des élèves qui se destinent aux écoles du gouvernement ou à toute autre école spéciale », fait précisément allusion à la méthode « connue sous le nom de réduction à l’unité », tout en présentant aussi la méthode classique des proportions.


 

 

 

3. Les ouvrages de pédagogues.

La méthode de réduction à l’unité est popularisée à partir des années 1830-1840, tant par les inspecteurs primaires que par les manuels scolaires ou la presse pédagogique, puis s’impose après 1850. Elle consiste à faire résoudre aux élèves des problèmes relevant de la règle de trois en utilisant seulement les « quatre opérations » ainsi qu’un raisonnement élémentaire, plutôt que la théorie des proportions, rejetée hors du champ de l’arithmétique scolaire. C’est précisément parce qu’elle fournit l’occasion de « raisonner » un problème que cette méthode va connaître une grande fortune scolaire.

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  Extrait du « Traité d’arithmétique théorique et pratique » par l’abbé Eysséric (1877). L’auteur évoque les prescriptions des nouveaux programmes d’enseignement qui privilégient la méthode de réduction à l’unité qui, dit-il, « n’exige que la connaissance des quatre opérations fondamentales et la théorie des fractions ordinaires ».

On notera que la méthode de réduction à l’unité s’applique aussi pour la règle de trois inverse.

L’instauration de l’école primaire obligatoire (loi 8 Mars 1882) oblige les pédagogues à faire œuvre d’imagination pour rendre la règle de trois accessible à un plus grand nombre d’élèves.

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Extrait de « L’arithmétique simplifiée », cours moyen et supérieur, de A. Surier et G. Duret (1903).

La méthode est très strictement à respecter, avec l’écriture fractionnaire bien connue de ceux qui ont eu à la pratiquer. L’auteur précise qu’il faut toujours faire la multiplication en premier et qu’on a avantage à simplifier (ce qui nécessite des connaissances sur les propriétés des écritures fractionnaires).

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Extrait du « Petit cours d’arithmétique » de Carlo Bourlet (1913. Cet ouvrage retient particulièrement notre attention dans la mesure où l’auteur fut un mathématicien reconnu de la seconde moitié du XIXème siècle et contribua à la réforme de l’enseignement secondaire au début du XXème siècle. Les pages qui suivent sont très éclairantes.

 

L’auteur précise qu’il y a parfois avantage à faire la multiplication avant la division mais le déconseille vivement aux jeunes élèves afin d’éviter une « application machinale du raisonnement-type ».

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Extrait de l’ « Arithmétique » (cours moyen et certificat d’études) de E. Martin,  inspecteur primaire  (1918)

 

L’écriture fractionnaire est justifiée par le fait que c’est la meilleure façon de procéder, dans la mesure où elle donne un raisonnement exact et permet des simplifications utiles.

 

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Extrait de l’ "Arithmétique, premières leçons de calcul"  de A. Lemoine ( vers  1930). La règle est appliquée  sans prendre soin de donner un sens aux calculs effectués : que peut bien signifier ème de serviette ?

 

 
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Extrait de l’Arithmétique nouvelle (cours moyen et 1ère année du cours supérieur) de L. Kubler et AD. Lelu, inspecteurs primaires  (vers 1930). 

 

La démarche est identique à ce qui a pu être exposé dans d’autres ouvrages. Cependant, les auteurs font porter l’attention sur des « fautes de raisonnement » qui consisteraient à envisager des fractions de chaise ou d’ouvrier et invitent à procéder autrement.

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 Extrait de « L’arithmétique et la Géométrie à l’Ecole Primaire » de E. Goumy, inspecteur d’Académie (1933). C’est un ouvrage destiné à la formation des instituteurs de l’école primaire.

 

L’auteur met l’accent sur les « actes de foi » que doivent faire les élèves à propos des écritures fractionnaires et de leur simplification, ainsi que sur les abus que l’on trouve à propos de l’utilisation de la règle de trois en lui donnant une importance excessive.

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Extrait de « Arithmétique «  (cours moyen) de Albert Châtelet (1945)

La règle de trois apparaît ici comme une « formule » qui traduit différents calculs possibles.

 

 

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Extrait de « L’arithmétique au Cours Moyen » de René Jolly (1951)

Rien de nouveau ici, si ce n’est un effort notable d’illustration du procédé, de manière schématique.

 

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Extrait de « Le nouveau calcul vivant » (cours élémentaire et moyen) L. et M. Vassort (1960).

Voilà la couleur ! Pour le reste, rien d’original. Il y a même une page consacrée à la simplification de la règle de trois, sous une forme plutôt magistrale…

 

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 Extrait de « Calcul Cours Moyen » de R. Ardiot, A. Wanauld  et B. Budin (1960)

Le contenu est identique à celui de l’ouvrage précédent, de la même époque. Seule la situation change : le gaz butane est apparu… On notera aussi une tentative de justifier la simplification, sur un exemple.

 

 

III.      Que fait-on sans la règle de trois ?

 

Les programmes de 1970 suppriment toute référence à la règle de trois, tout en conservant un enseignement de la proportionnalité. Comment sont abordés les problèmes habituellement résolus par la règle de trois (simple et directe) ?

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Extrait de « Mathématique au CM » de L. Postel et R. Mourjan (1974)

 

On voit ici l’apparition des tableaux de proportionnalité, avec les opérateurs fractionnaires. C’est le nouvel outil qui remplace la règle de trois.

On remarquera la rupture avec les démarches antérieures et le souci, sans doute légitime, de contrôler le sens apporté à chaque étape. Mais il faut bien avouer, comme cela a été souvent le cas à cette époque, que la contre-partie a été la lourdeur des procédés et, en définitive, une certaine complexité.

C'est l'époque aussi, particulièrement au collège mais aussi à l'école primaire, où on a introduit la méthode du "produit en croix" qui est un dispositif automatique sans véritablement contrôle par le sens, sauf à maîtriser les proportions, ce qui n'est pas le cas à l'école primaire. Paradoxalement, à une époque où on privilégiait la "construction du sens", c'était le retour aux méthodes des ouvrages pratiques de l'Ancien Régime qui se contentaient des automatismes.

Il faut insister sur le fait, parfois mal compris par les enseignants des générations d'après les "Mathématiques Modernes" - qui sont maintenant les plus nombreux - que la méthode du produit en croix n'est pas la règle de trois traditionnellement pratiquée depuis le XIXème siècle, comme on voudrait parfois leur faire croire. Si les calculs conduisent au même résultat, le sens de ces calculs et le récitatif attaché sont radicalement différents. Pour s'en convaincre, il suffit de se reporter au II-3.

 

IV.     Un exemple d'utilisation de la règle de trois dans un problème ancien.

 

Au milieu d'un registre paroissial du curé de Carcès (département du Var; http://www.provenceweb.fr/f/var/carces/carces.htm ) figure un texte curieux daté du mois de février 1736 qui n'est autre qu'un énoncé de problème comme on en trouve beaucoup dans des ouvrages d'arithmétique depuis le Moyen-Age:
 

Un marchand s'en va à la foire avec beaucoup d'argent. Il a employé 1/2 de son argent en moutons et 1/3 en bœufs. À son retour, il trouve 600 livres dans sa bourse. On demande combien il en avait lorsqu'il est allé à la foire ? »
 
(Source: http://www.geneprovence.com/exercice-de-mathematiques-carces-fevrier-1736/)
 
Une résolution moderne.
 
Pour un élève de collège et de lycée et pour tout adulte cultivé, la résolution de ce problème se fait selon un mode algébrique consistant à choisir pour inconnue x la valeur initiale en livres possédée par le marchand. Ce qui lui reste après ses dépenses est :
x - x/2 - x/3 = x/6
D'où l'équation: x/6 = 600 soit x = 3600
Cette méthode nous est très commune et nous n'en envisagerions pas d'autre.
 
La résolution du curé de Carcès:
 
Comment procède-t-il?
Il utilise une méthode connue depuis le Moyen-Age sous le nom de "fausse position" qui ne fait aucunement recours à l'algèbre.
Tout d'abord, il faut reconnaître avec certitude que l'argent restant est proportionnel à l'argent possédé initialement.
 
1ère étape: il suppose que le marchand part avec 12 livres. Il dépense donc 6 livres pour les moutons et 4 livres pour les boeufs, c'est-à-dire en tout 10 livres et il lui reste 2 livres.
2ème étape: si le reste de 2 livres correspond à 12 livres, à combien correspond un reste de 600 livres? Ce que le curé exprime ainsi: si 2 donnent 12, combien 600 donnent-ils?
Chacun reconnaît là une situation de proportionnalité qu'on résout à l'époque selon la règle énoncée par le sieur Barreme (voir plus haut):
 
Multipliez les deux derniers nombres ensemble
 
12 x 600 = 7200
 
et divisez ce qui viendra par le premier:
 
7200 : 2 = 3600
 
et votre règle sera faite.
 
Le marchand est parti avec 3 600 livres.
 
Remarquez la disposition de la division. Elle ne ressemble pas à la nôtre. C'est la division à la française telle qu'elle était encore pratiquée à l'époque du registre.
 
 

  

 Extrait de « L’arithmétique au Cours moyen 1re et 2e année » par R. Franck (1951)

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